边界元方法与有限元方法之间的15点差别

2019/08/22

关于边界元与有限元的差别归纳如下：

边界元方法使问题的维数降低一维，例如：三维问题变为二维问题，二维变成一维问题。使得解题的自由度下降。

边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高于有限元。

边界元方法在有些情况下，可以较容易地处理有限元方法很难处理的问题，例如，无限域问题，断裂问题等。

在问题的规模(自由度)不大的情况下，边界元的解题速度高于有限元方法。但是，由于边界元方法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵，所以在处理大规模问题时遇到了困难，解题的规模受到限制。适合于处理中小规模问题。

边界元适合于处理位势问题、弹性问题，而在处理弹塑性问题或大的有限变形问题时，由于需要对物体进行体积离散，此时，边界元降维的优点消失。所以会在处理这一类问题时遇到一些困难。

边界元相对于有限元来说，其软件的商业化程度远不如有限元。所以，其处理问题时，一般是针对某一问题专门编制程序进行计算。其前、后处理的工作量较大。

边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。通过许多学者的努力对于一些问题，基本解已经被推导出来，但是，对于某些问题，问题的基本解很难求出。

一本书上关于有限元和边界元的比较，摘录如下：

有限元基于区域上的变分原理和剖分插值，边界元基于边界归化及边界上的剖分插值；

有限元属于区域法，其剖分涉及到整个区域，而边界元只需对边界离散，因此，可以降低求解问题的维数；

有限元法待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大，边界元法则相对规模小一些；

有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，边界元只需对边界节点联立求解，然后可以相互独立、完全并行的计算域内各点的函数值；

有限元的系数矩阵带状稀疏，且保持对称正定性，边界元法的矩阵为满矩阵，一般不能保证正定对称性；

有限元适应复杂的几何形状和边界条件，适于求解非线性、非匀质问题，边界元仅适应规则区域及边界条件，适于求解线性、匀质问题；

有限元适合于求解有界区域无奇异性问题，而边界元适合于求无界区域问题及若干奇异性问题；

对于狭长区域，有限元的精度高于边界元，其它情况下，边界元的精度较高。

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